氢原子问题补充材料连带Lagurre多项式及其母函数在他的关于波动力学的第三篇文章(Ann.d.Phys.804851,1926)中给出了连带Lagurre多项式的母函数为:式左端即为的母函数,记为母函数在计算归一化因子时有用.至于的表达式如何得来,可以参考王竹溪和郭敦仁的特殊函数概论,第六章.注1:连带Lagurre多项式的级数定义为另外我们有:即是次Lagurre多项式的第阶导数,称为次阶连带Lagurre多项式.还可以看出,当时的即出现在氢原子径向波函数中.注2:关于连带Lagurre多项式以及Lagurre多项式的性质,可以参考L.Pauling,E.B.Wilson的IntroductiontoQuantumMechanics:withapplicationstochemistry,Chap5.注3:合流超几何函数与连带Lagurre多项式的关系为:径向波函数及其归一化氢原子总波函数取,其中用到了,.则(这里已将吸收到归一化因子中去.)下面证明证明:取另一方面,上式最后一步利用了Tailor展开我们是要求解形如的积分,故令式中的并注意到此时无穷级数展开和的最低次幂均为S,可以比较它们幂次相等的项的系数,易知:令即得式,式代入式即得:所以,
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