二:(间接法)蚇四、组合数的两个性质芅组合数的性质1:.螁一般地,从n个不同元素中取出个元素后,剩下个元素.因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合,与剩下的n?m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数,等于从这n个元素中取出n?m个元素的组合数,即:.在这里,主要体现:“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想罿证明:∵荿又,∴肄说明:①规定:;螀②等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标;莀③此性质作用:当时,计算可变为计算,能够使运算简化.袇例如===2002;螃④或.袀2.组合数的性质2:=+.螁一般地,从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是,这些组合可以分为两类:一类含有元素,一类不含有.含有的组合是从这n个元素中取出m?1个元素与组成的,共有个;不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的,共有个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.在这里,主要体现从特殊到一般的归纳思想,“含与不含其元素”的分类思想.蕿证明:袆∴=+.羀说明:①公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数;羈②此性质的作用:恒等变形,简化运算羇例11.一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球,薅(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?肀(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?荿(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?蝿解:(1),或,;(2);(3).莄例12.(1)计算:;蒄(2)求证:=++.螀解:(1)原式;膆证明:(2)右边左边莇例13.解方程:(1);(2)解方程:.蒄解:(1)由原方程得或,∴或,膀又由得且,∴原方程的解为或袈上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.膅(2)原方程可化为,即,∴,薄∴,薁∴,解得或,
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