含有未知数的等式,都表述涉及未知数的相等关系;解方程的基本思想都是依据相等关系使未知数逐步化归为用已知数表达的形式.这正是方程的本质所在.《九章算术》方程:《九章算术》方程章中所谓“方程”是专指多元一次方程组而言,与现在“方程”的含义并不相同.《九章算术》中多元一次方程组的解法,是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”).消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换.方程章第一题:“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉,下禾一秉,实(指谷子)三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何”,这一题若按现代的记法.设x、y、z依次为上、中、下禾各一秉的谷子数,则上述问题是求解三元一次方程组:其他国家或民族给出联立一次方程组的解法比中国晚不少年,如在印度最早出现在婆罗摩笈多(Brahmagupta,598-660)的著作《婆罗摩修正体系》之中;而欧洲最早提出三元一次方程组解法者是法国数学家布丢(J.Buteo,1485-1572).《九章算术》方程章中共计18道题目,其中关于二元一次方程组的有8题,三元的6题,四元、五元的各2题皆是用直除法求解,该演算法是我国古代求解线性方程组的基本方法,其理论上和现在加减消元法基本一致.如第2、10题就是典型的二元一次方程组.今有上禾七秉,损实一斗,益之下禾二秉,而实一十斗;下禾八秉,益实一斗与上禾二秉,而实一十斗.问上、下禾实一秉各几何? 这里的“损实”就是减去,“益实”就是加上,故而“益实”和“损实”是一对互为相反意义的正负概念.同时在“术”中还给出移项的概念.解按术计算有:设上禾每捆打谷斗,下禾每捆打谷斗.据题意可得方程组,解得.今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何? 据题意可得,解得.
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