理对所有,都有时,亦是矛盾的,Р所以假设不成立,故原结论成立.Р证法二(1)当为有限数时,若,则,结论自然成立,Р若不很等于,则存在,使得,Р下设,(对,类似可证)Р因为,Р函数在内连续,Р所以对任意取定的数,Р存在,,Р使得,Р从而由Rolle定理知,Р存在,使得。Р若或,则任取一点作,上面的推理保持有效.Р(2)当时,,Р易知在内可取到最小值,Р设在处取到最小值,则有;Р(3)当时,,Р易知在内可取到最大值,Р设在处取到最大值,则有;Р注:此题是推广的罗尔中值定理。Р二、1、解Р解法1 Р.Р解法2 令,Р, 于是.Р解法3 ,,Р,Р,Р于是.Р2、解由,知Р Р,Р,Р,Р3、Р 。Р三、证明因为在上连续,有最小值,又因为,Р,故最小值在的内部达到,Р所以存在,使得.Р于是为极小值,由Fermat定理,有,Р在处,按Taylor公式展开,存在,使得Р ,Р ,Р因此Р ,Р于是存在,使得.Р四、1、证明设为任一实数列,Р令,,Р所以,Р令,,Р显然数列,都是单调递增的Р,,Р于是Р Р ,Р由于,都是单调递增的,所以结论得证.Р2、解设,利用Stolz定理,Р,Р得Р。Р五、证明方法一由条件可知,任取,存在,满足,存在,满足,这样继续下取,得到存在,满足;进而;存在子列及,使得收敛于; 在利用在处连续及,即得,,结论得证.Р 方法二由于在上连续,设,利用条件可知,对任意,Р存在,满足,从而由,;Р进而有,;存在,使得;结论得证.Р解设,Р当时,,Р当时,收敛;Р当时,发散,Р故级数的收敛域为.Р Р ,.Р七、解记,Р,Р。Р八、1、证明Р由,Р,对,,有,Р当充分小时,Р有,Р对的某个邻域中的点,,有,Р所以是的一个局部极小值点.Р2、证明用反证法,假设结论不真.Р假若有两个稳定点,Р,,Р由,Р由在所有点处正定,Р得Р,Р这是矛盾的,假设不成立,Р故原结论成立.
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