10.函数中易易错的十个问题

的取值范围.分析:欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立.在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中,令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题,求f(0)的值.令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0,f(x)是奇函数得到证明.(1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R), ①令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.令y=-x,代入①式,得f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,所以f(x)是奇函数.(2)解:f(3)=log3>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R上是单调函数,所以f(x)在R上是增函数,又由(1)f(x)是奇函数.f(k·3)<-f(3-9-2)=f(-3+9+2),k·3<-3+9+2,3-(1+k)·3+2>0对任意x∈R成立.令t=3>0,问题等价于t-(1+k)t+2>0对任意t>0恒成立.R恒成立.说明:问题(2)的上述解法是根据函数的性质.f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数,把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t>0恒成立.对二次函数f(t)进行研究求解.本题还有更简捷的解法:分离系数由k·3<-3+9+2得上述解法是将k分离出来,然后用平均值定理求解,简捷、新颖.九、多元函数的自变量与参变量例9.(1)对于任意,不等式恒成立,求实数a的取值范围。(2)对于任意,不等式恒成立,求实数x的取值范围。解:(1)原不等式转化为,设其解集为A。对于任意,不等式恒成立,所以。又,即原不等式为。①当,即时,。②当,即a=2时,A=R。③当,即a>2时,。要使,显然有a=2。综上知实数a的取值范围是。解:(2)不等式恒成立,即恒成立。