认清“增根”和“无解”

认清“增根”和“无解”分式方程的增根是由于把分式方程转化为整式方程时,去掉了原分式方程中分母不为的限制条件,从而扩大了未知数的取值范围,这样,整式方程的解可能使分式方程的分母为,分式方程无意义.因此,这个解虽然是变形后整式方程的解,但不是原分式方程的解,即为增根.可见,增根不是原分式方程的解,但却是分式方程去分母后所得整式方程的解.分式方程无解分两种情况:一是原分式方程化为整式方程后,该整式方程无解;二是分式方程去分母后所得整式方程有解,但该解却是分式方程的增根.可见,分式方程有增根与无解是完全不相同的,它们既有联系,又有区别.增根是无解的一种特殊情形,分式方程无解应从两个方面考虑.一、利用分式方程有增根确定字母的值解题妙招:解决此类问题的一般步骤是:①把分式方程化为整式方程;②求出使最简公分母为的未知数的值;③把未知数的值分别代入整式方程,求出字母系数的值.例1若分式方程有增根,则的值为()A.或B.C.或D.解析:方程两边乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=m.解得x=m-2.令,解得或.因为分式方程有增根,将,分别代入x=m-2,得或.所以或时,原分式方程有增根.故选A.二、利用分式方程无解求字母的值解题妙招:解决此类问题,一定要从分式方程有增根和整式方程无解两个方面去考虑,以防出现漏解.例2若关于的分式方程无解,则的值为.解析:方程两边乘x(x-1),得x(x-a)-3(x-1)=x(x-1).化简,得.当整式方程无解时,则,解得.当分式方程有增根时,则最简公分母,解得或.①当时,无解;②当时,.所以当或a=时,原分式方程无解.故填或.