.求证:DC=DE证明:延长BE至F,使EF=BC∵△ABC是等边三角形∴∠B=60°,AB=BC∴AB=BC=EF∵AD=BE,BD=AB+AD,BF=BE+EF∴BD=BF∴△BDF是等边三角形∴∠F=60°,BD=FD在△BCD和△FED中,BC=EF∠B=∠F=60°BD=FD∴△BCD≌△FED(SAS)∴DC=DE19.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于E,且AE=BD,求证:BD是∠ABC的角平分线.证明:延长AE、BC交于点F∵AE⊥BE∴∠BEF=90°,又∠ACF=∠ACB=90°∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°∴∠DBC=∠FAC在△ACF和△BCD中∴△ACF≌△BCD(ASA)∴AF=BD又AE=BD∴AE=EF,即点E是AF的中点∴AB=BF∴BD是∠ABC的角平分线20.如图,在△ABC中,分别以AC、AB为边,向外作正△ACD,正△ABE,BD与AE相交于F,连接AF,求证:AF平分∠DME证明:过点A分别作AM⊥BD,AN⊥CE,分别交BD,CE于M,N两点∵△ABE和△ACD均为等边三角形,∴∠EAB=∠CAD=60°,AD=AC,AB=AE∵∠EAC=∠BAD=60°+∠BAC,∴△EAC≌△BAD,∴CE=BD∴AN=AM∴AF平分∠DME(在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上)21.如图,已知:AB=AC,∠A=90°,AF=BE,BD=DC.求证:FD⊥ED.证明:连接AD.∵∠A=90°AB=ACD是BC的中点∴AD⊥BC∠ADB=90°∠B=45°=∠CADAD=BD(直角三角形中,中线等于斜边的一半)且BE=AF∴易证△BED≌△AFD(SAS)∴∠BDE=∠ADF∵∠ADE+∠EDB=∠ADB=90°∴∠ADF+∠ADE=90°∴ED⊥FD
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