径Р 长方形ABCO的一个顶点位于圆心O,另一个顶点A距离圆周2cm。A与C的距离为7cm。Р 圆的半径是多少? Р3.勾股定理再探Р 勾股定理证明方法之一的培利加剖分( Perigal’s dissection)在《数学乐园·茅塞顿开》中已经描述过,但因为勾股定理是相当重要的定理,故在此再特别举出一些可行的证明方法,供读者做比较. Р 下面列举的前3个方法非常类似,而且都需要利用到4个全等的直角三角形.请将它们从卡片中剪下,并且实际练习看看. Р (1)如图1所示,将4个三角形排成边长为a+b的正方形4BCD,使中间留下边长c的一个正方形洞(阴影部分). Р 画出正方形ABCD.现在移动三角形至图2所示的位置中,于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞.这么一来,图1和图2中的阴影部分面积必定相等,所以Рc2=a2+b2 Р (2)此证明以图1为基础: Р 正方形ABCD的面积=阴影部分正方形的面积+4个三角形的面积Р Р 得出 a2+b2=c2 Р (3)这次将4个直角三角形的直角部分朝内放,排成一个边长为c的正方形PQRS(见图3),中间的洞(阴影部分)则是边长为b-a的正方形. Р正方形PQRS的面积=阴影部分正方形的面积+4个三角形的面积Р Р 得出 c2=a2+b2 Р (4)此证明于1860年首次发表,同样也是着眼于使面积相等的概念.这题与上述的第一、第二个方法有颇多类似之处. Р 正方形ABNL的面积Р =的面积-4个三角形的面积Р =正方形DFHI的面积-4个三角形的面积Р =正方形DFHI的面积-长方形ACBI的面积-长方形CEFC的面积Р =正方形ADEC的面积+正方形BCGH的面积故可得Рc2=b2+a2 Р Р (5)介绍了许多几何变换的方法后,这里要以有趣的切变换(shearing transformation)为基础来证明勾股定理.参见图 5.
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