时,直线上的三定点也分别在三个坐标面上变动,另外,直线上有第四点,它与三点的距离分别为,当直线按照这样的规定(即保持分别在三坐标面上)变动,试求点的轨迹。Р解:设,则知:,Р,又设,Р又在的连线上,(4)Р从(1)——(4)消去,得到,此为点的轨迹方程。Р6、已知椭球面,试求过轴并与曲面的交线是圆的平面。Р解:设要求的平面为:,它与椭球面的交线为:(*) Р若(*)为圆,因(*)以原点为对称,故圆心在原点,所以圆的半径为,从而交线上的点都在球面:上,即有:,Р亦即:,,即:.Р,,满足要求的平面方程为:Р§ 4.5双曲面Р1、画出以下双曲面的图形:Р(1); (2)Р解:图形如下:Р2、给定方程,试问当取异于的各种数值时,它表示怎样的曲面?Р解:对方程(*)Р1º、当时,(*)不表示任何实图形;Р2º、当时,(*)表示双叶双曲面;Р3º、当时,(*)表示单叶双曲面;Р4º、当时,(*)表示椭球面。Р3、已知单叶双曲面,试求平面的方程,使这平面平行于面(或面)且与曲面的交线是一对相交直线。Р解:设所求的平面为,则该平面与单叶双曲面的交线为:(*) ,亦即,为使交线(*)为二相交直线,则须:,即,所以,要求的平面方程为:。同理,平行于的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线,则该平面为:Р4、设动点与的距离等于这点到平面的距离的两倍,试求这动点的轨迹。Р解:设动点,所求轨迹为,则Р亦即:,此为的轨迹方程。Р5、试求单叶双曲面与平面的交线对平面的射影柱面。Р解:题中所设的交线为:,从此方程中消去,得到:Р,此即为要求的射影柱面方程。Р6、设直线与为互不垂直的两条异面直线,是Р与的公垂线的中点,两点分别在直线,上滑Р动,且,试证直线的轨迹是一个单叶双曲面。Р证明:以,的公垂线作为轴,作为坐标原点,Р再令轴与,的夹角均为,公垂线的长为,若设,则,的方程分别为:Р, Р令,,则有:
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