接触数σ=5,由(11)式至少要有80%的人接受免疫才行。据世界卫生组织报告,即使花费大量资金提高,也因很难做到免疫者的均匀分布,使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些传染病的σ更高,根除就更加困难。Р六﹑模型验证Р上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统,有关部门记录了每天移出者的人数,即有了的实际数据,Kermack等人用这组数据对SIR模型作了验证。Р首先,由方程(2),(3)可以得到Р ,两边积分得Р Р所以: (12)Р再(13)Р当时,取(13)式右端Taylor展开式的前3项得:Р Р在初始值=0 下解高阶常微分方程得: Р (14)Р其中, 从而容易由(14)式得出:Р (15) Р 然后取定参数 s0, σ等,画出(15)式的图形,如图4中的曲线,实际数据在图中用圆点表示,可以看出,理论曲线与实际数据吻合得相当不错。Р Р七﹑被传染比例的估计Р在一次传染病的传播过程中,被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值与之差,记作x,即(16)Р当i0很小,s0接近于1时,由(9)式可得Р (17)Р取对数函数Taylor展开的前两项有Р (18) Р 记, 可视为该地区人口比例超过阈值的部分。当Р时(18)式给出Р (19) Р这个结果表明,被传染人数比例约为的2倍。对一种传染病,当该地区的卫生和医疗水平不变,即Р不变时,这个比例就不会改变。而当阈值提高时,减小,于是这个比例就会降低。Р八﹑评注Р该模型采用了数值计算,图形观察与理论分析相结合的方法,先有感性认识(表1,图1,图2),再用相轨线作理论分析,最后进行数值验证和估算,可以看作计算机技术与建模方法的巧妙配合。可取之处在于它们比较全面地达到了建模的目的,即描述传播过程、分析感染人数的变化规律,预测传染病高潮到来时刻,度量传染病蔓延的程度并探索制止蔓延的手段和措施。
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