数学建模 2.9 扬帆远航

—密度r、粘性系数m以及重力加速度g有关. 下面用量纲分析方法确定f与这些物理量之间的关系.Р1. 设这些物理量间的关系式为Рf(f, l, h, v, r, m, g) = 0 (1)Р2. 各物理量的量纲:Р[f] = LMT -2Р[l] = LM0T0Р[h] = LM0T0Р[v] = LM0T -1 (2)Р[r] = L-3MT 0Р[m] = L-1MT -1Р[g] = LM0T -2Р其中m的量纲由p = m得到,这里p为压强,v为流速,x为尺度. n = 3, m = 7.Р3. 量纲矩阵:Р f l h v r m gРA = , (3)Р可计算得РRank A = 3. (4)Р4. 解方程РAy = 0, (5)Р得基础解系Рy1 = (0 1 -1 0 0 0 0)T,Рy2 = (0 1 0 -2 0 0 1) T,Рy3 = (0 1 0 1 1 -1 0) T, (6)Рy4 = (1 -2 0 -2 -1 0 0) T。.Р5. (6)式给出4个相互独立的无两个量:Рp1 = lh-1,Рp2 = lv-2g,Рp3 = lvrm-1, (7)Рp4 = fl-2v-2r-1,Р而(1)式与Рf(p1,p2 ,p3 ,p4) = 0 (8)Р等价,f为未定函数. (7), (8)两式表达了航船问题中各物理量间的全部关系.Р6. 由(7)的最后一个式子有f = l2v2rp4, 而由(8)有p4 = y(p1,p2 ,p3),故Рf = l2v2ry(p1,p2 ,p3). (9)Р在流体力学中无量纲量(= p2-1/2)称Froude数, p3 = lvrm-1称Reynold数, 分别记为РFr = , Re = , (10)Р则(9)式又可表示为Рf = l2v2ry(l/h, Fr, Re). (11)Р作业:p57, 15~17