Р代入边界条件得Р从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数Р将每特征值代入函数满足的方程可得出相应的解Р第三步:叠加,确定叠加系数(5分)Р Р由初始条件得:Р故原方程的解为Р四、(本题10分)Р设,,利用行波法求解下列初值问题:Р解:Р(一)、求特征线,做特征变换: (5分)Р问题中方程对应的特征方程为:Р则可得特征线为:以及Р做特征变换Р则原方程可化为:Р(二)、积分求“通解”(2分)Р也即Р(三)、由定解条件,确定未知函数(3分)Р由定解条件:Р解得:Р所以,Р五、(本题15分)利用Green函数法求解如下狄氏问题:Р解:(一)、用电像法求格林函数(9分)Р在的空间上放一正单位点电荷,在边界上产生的电位为。关于边界的对称点记作,在处放置电量为负电荷,其在边界上的电位为。Рa) 的坐标为Рb) 为了使边界上的电位为零,也即,由于,所以Рc)由于在内调和,在上具有连续的一阶偏导数,则得格林函数:Р(二)、对格林函数求法向导数(3分)Р(三)、求解(3分)Р六、(本题15分)Р用变换法求解定解问题:Р已知,其中。Р解:Р第一步:通过Laplace变换将原问题化为常微分方程定解问题(8分)Р由题意知,需取关于时间t取拉普拉斯变换,记,对原问题取拉普拉斯变换可得Р第二步:解此常微分方程定解问题(5分)Р上常微分方程的通解为Р Р再由定解条件可得,从而Р第三步:取Laplace逆变换得原定解问题的解(2分)Р Р七、(本题15分)求解下列定解问题Р Р解:设,代人定解问题,得下面两个问题.Р 和Р解方程得:, (5分)Р把解代人方程,解方程,采用分离变量法,Р设:,代入方程,得下面两个常微分方程:Р Р Р解方程(1)得: Р把代人方程(2),解得Р由解的叠加原理,设Р (3) (8分)Р把方程中的初始条件,代人上面的(3)式,Р Р所以,原定解问题的解为:Р . (2分)
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