猜想是科学发现的最常用的方法之一,它具有很大的创造性.它是从已知推出未知的方法,但它不是以现成的一般知识为前提,而是以已知的科学事实为前提,因而能够概括、解释科学事实,扩展认识成果,形成新的一般原理.因此,归纳的方法作为重要的数学方法,在数学研究及数学发现中具有极为重要的意义和作用.Р (1)发现或者证明数学真理.Р 归纳法是发现各种规律的十分有力的工具,在数学发现中具有十分重要的作用.不少数学家往往是归纳大师,如高斯就曾说过他的许多定理都是靠归纳法发现的,他说:“在数论中,由于意外的幸运颇为经常,所以用归纳法可以发现极漂亮的新的定理.”Р 例1 笛卡尔-欧拉公式的发现.Р 在立体几何中,通过实际计算四面体、六面体、八面体、六棱锥、五棱柱及四棱台的顶点数V、棱数E及面数F(图3-11),可得出如下表中的数据:Р 仔细分析表中的数据,不难归纳出如下关系式:Р V+F=E+2Р 再选一些凸多面体进行考察又发现,这一关系式对任何一个凸多面体来说都是成立的.事实上,这一关系式就是著名的笛卡尔—欧拉公式.Р 例2 平面几何定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”的证明,可先按圆心在角的一条边上,在角的内部和在角的外部三种情形分别加以证明,然后根据这三种情形证明的结果归纳出一个普遍的结论.Р 例3 四色定理的发现及证明.Р 著名的“四色定理”也是用不完全归纳法发现的,其证明则用到了完全归纳法.1852年英国数学家格斯里(Guth-rie,1831-1899)在对英国地图着色时发现,无论多么复杂的地图,只需用四色就足以将相邻区域分开.他试图证明之,但无能为力.于是他将这个发现告诉了他的兄长,老师,但他们都无法证明.在1878年伦敦数学年会上,数学家凯莱正式以“四色猜想”为题公布于众,请与会者提供证明.近百年来没有人能证明它.直到1976年才由美国的两位名不见经传的小人物阿佩尔和黑肯
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