实变函数一,填空题设,,则.,因为存在两个集合之间的一一映射为.设是中函数的图形上的点所组成的集合,则,.若集合满足,则为集.若是直线上开集的一个构成区间,则满足:,.设使闭区间中的全体无理数集,则.若,则说在上.设,,若,则称是的聚点.设是上几乎处处有限的可测函数列,是上几乎处处有限的可测函数,若,有,则称在上依测度收敛于.设,,则的子列,使得.二,判断题.正确的证明,错误的举反例.若可测,且,则.设为点集,,则是的外点.点集的闭集.任意多个闭集的并集是闭集.若,满足,则为无限集合.三,计算证明题1.证明:2.设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明为可数集.3.设,且为可测集,.根据题意,若有,证明是可测集.设是集,.求.设函数在集中点上取值为,而在的余集中长为的构成区间上取值为,,求.求极限:.实变函数试题解答一填空题.;.闭集..几乎处处收敛于或收敛于.对有.于.二判断题.例如,,,则且,但..例如,,但0不是的外点..由于..例如,在中,,是一系列的闭集,但是不是闭集..因为若为有界集合,则存在有限区间,,使得,则于.三,计算证明题.1.证明如下:中任何一个元素可以由球心,半径为唯一确定,,,跑遍所有的正有理数,跑遍所有的有理数.因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集,故为可数集.令,则且为可测集,于是对于,都有,故,令,得到,故可测.从而可测.已知,令,则.将积分区间分为两两不相交的集合:,,,其中为集,是的余集中一切长为的构成区间(共有个)之并.由积分的可数可加性,并且注意到题中的,可得因为在上连续,存在且与的值相等.易知由于在上非负可测,且广义积分收敛,则在上可积,由于,,于是根据勒贝格控制收敛定理,得到.
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