差是 114 ,求这两个自然数。解:设这两个数是 A 、B 。且 A=am ; B=bm ∵ A+B=54 ,则 am+bm=54 ∴ m(a+b)=54 ∵(A 、 B)=m ; a 、b 为A 、B 两数的非有公因数, (a 、 b)=1 ∴[A 、 B]=m ×a ×b∵[A 、 B] - (A 、 B)=114 ,则 m ×a ×b - m=114 ∴ m(ab - 1)=114 ∵ m(a+b)=54 且 m(ab - 1)=114 则m 是 54 和 114 的公因数又∵( 54 , 114 ) =6 , 6=1 × 6=2 ×3 ∴ m=1 或 m=6 或 m=2 或 m=3 如果 m=1 ,则 1 × (a+b)=54 , a+b=54 ; 1 × (ab - 1)=114 , ab=115 ∵ 115=1 × 115 或 115=5 × 23 ∵ 115+1 ≠ 54 且 5+23 ≠ 54 ∴m ≠1 如果 m=6 ,则 6 × (a+b)=54 , a+b=9 ; 6 × (ab - 1)=114 , ab=20 ∵(a 、 b)=1 ,则 20=1 × 20 或 20=4 ×5 ∵ 1+20 ≠9 , 4+5=9 则 m=6 , a=4 , b=5 ; ∴ A=4 × 6=24 , B=5 × 6=30 如果 m=2 ,则 2 × (a+b)=54 , a+b=27 (接【例 4 】) 如果 m=3 ,则 3 × (a+b)=54 , a+b=18 3 × (ab - 1)=114 , ab=39 ∵(a 、 b)=1 , 则是 39=1 × 39 或 58=3 × 13 ∵ 1+39 ≠ 18 且 3+13 ≠ 16 ∴m ≠3 答:这两个自然数是 24 和 30 。【练一练】两个数的差是 4 ,最大公因数与最小公倍数的积是 252 ,求这两个数。
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