2)当AD为外角∠CAG的平分线时,AE=12(AC-AB).理由:作DF⊥AC于点F.∵AD为∠CAG的平分线,DE⊥AB,所以DE=DF,又∵∠DCB=∠GAD=∠DAC=∠DBC.∴DB=DC.∴△EBD≌△FCD.∴BE=CF.易证△EAD≌△FAD,∴AE=AF.∴AC-AB=AF+CF-(BE-AE)=AF+CF-BE+AE=2AE.即AE=12(AC-AB).6.过C作CM垂直FB于M,∵直径CD⊥AB,∴AC︵=BC︵.于是AC=BC,∴∠EFC=∠CBA=∠CAB=∠CFB.从而FC为∠EFB的平分线.∵CH⊥FE,CM⊥FB,∴CH=CM.又∵FC=FC,∴Rt△CHF≌Rt△CMF.∴FH=FM,CH=CM,于是△ACH≌△BCM.∴AH=BM.从而FB-FA=(FM+MB)-(AH-HF)=(MB-AH)+(FM+FH)=2FH.∴FB-FA与FH的比值是2.7.(1)证明:∵AI平分∠BAC,∵∠BAD=∠DAC,∴BD=DC.∵BI平分∠ABC,∴∠ABI=∠CBI.∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC,∴∠BAD=∠DBC.又∠DBI=∠DBC+∠CBI,∠DIB=∠ABI+∠BAD,∴∠DBI=∠DIB.∴△BDI为等腰三角形.∴BD=ID,∴BD=DC=DI.(2)∵∠BAC=120°,AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC=60°.∴∠DBC=∠DAC=60°.∵BD=DC,∴△BDC为等边三角形.过点D作DH⊥BC,交BC于H,所以DH过圆心,∠HDC=30°,∠HCO=30°.连接OC.则OH=12OC=12×10=5(cm).在Rt△OHC中,利用勾股定理可得CH=CO2-HO2=102-52=53(cm).由垂径定理可得BC=2CH=103cm.∴S△BDC=1032×15=753(cm2).答:△BDC的面积为753cm2.
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