是X 的拓扑,故??,X T 1,??,X T 2 ,从而??,X 1 2 T T ?; (2)对任意的?BA, T 1? T 2 ,则有?BA, T 1且?BA, T 2 ,由于 T 1,T 2是X 的拓扑,故??BA T 1 且??BA T 2 ,从而??BA T 1? T 2; (3)对任意的 21TTT???,则 21,TTTT????,由于 T 1,T 2是X 的拓扑,从而? U? T’U? T 1, ? U? T’U? T 2,故? U? T’U? T 1? T 2 ;综上有 T 1? T 2 也是 X 的拓扑. 3 、从拓扑空间 X 到平庸空间 Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√理由:设: f X Y ?是任一满足条件的映射, 由于 Y 是平庸空间, 它中的开集只有,Y?, 易知它们在 f 下的原象分别是,X?, 均为 X 中的开集,从而: f X Y ?连续. 4 、设 A 为离散拓扑空间 X 的任意子集,则?? d A ??( )答案:√理由: 设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{ } p 是X 的开子集,且有?????? p A p ?? ??,即?? p d A ?, 从而( ) d A ??. 5 、设 A 为平庸空间 X (X 多于一点)的一个单点集,则?? d A ??( )答案: × 理由: 设{ } A y ?, 则对于任意, x X x y ? ?,x 有唯一的一个邻域 X ,且有( ) y X A x ? ??, 从而( ) X A x ?? ??, 因此 x 是A 的一个凝聚点, 但对于 y 的唯一的邻域 X ,有( ) X A y ?? ??, 所以有?? d A X A ?? ??.
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