只是当时尚未抽象出未知数的明确概念。定义中的“皆如物数程之”是十分重要的,它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”,共同构成了方程组有唯一组解的条件。现在则可以解释为方程的个数必须与未知数的个数一致, 任意两个方程的系数不能相同或者成一定的比例。他还认识到当方程组中方程的个数少于所求物个数时,方程组的解不唯一;如果是齐次方程组,则方程组的解可以成比例地扩大或缩小,即“举率以言之”。对于方程组的性质,刘徽总结出如下诸条: “令每行为率”,即方程各项成比例地扩大或缩小,不改变方程组的解“每一行中,虽复赤黑异算,无伤”,即方程各项同时变号,不改变方程组的解; “举率以相减,不害余数之课也,即两方程对应项相减,不改变方程组的解.明显,刘徽对于线性方程组的初等变换,已经基本掌握了。不过,他没有考虑交换两个方程的位置,因为不进行这种变换亦可顺利求出方程组的解,而且调换算筹的位置是不方便的。 2.4 在几何上的贡献刘徽用“出入相补”的原理,证明了《九章算经》中许多几何公式。“出入相补”的原理即一个几何图形(平面的或立体的)被分割成若干部分后,面积或体积的总和保持不变。他在证明三角形面积公式时,思路如下:把三角形的高 h二等分, 以盈补虚拼成一个长方形,其面积为 ah 2 1 ,正好是原三角形的面积(图 5)。《九章算经》中“商功”章阳马术给出的阳马体积公式为其三条直角边乘积的三分之一。而刘徽证明这一公式,先从一个长方体出发,将它斜分成两个地面为直角三角形的正柱体,然后继续斜分得到两个立体图形,一为“阳马”一个为“鳖臑”(底面为直角三角形而又一棱与底面垂直的锥体。)刘徽想证明阳马(图4·16中ABCDE) 一个鳖臑(图6中DEFC) 的体积与鳖臑(图6中DEFC) 的体积之比为 1:2 ,由此推出阳马的体积公式为 abc Y3 1?(a,b,c 为原长方体的三边之长)。刘徽称之为“不宜之
全文预览
