试证:.证明:由事件的关系可知而,故由概率的性质可知即证毕4设是线性无关的,证明,也线性无关..证明:设有一组数,使得成立,即,由已知线性无关,故有该方程组只有零解,得,故是线性无关的.证毕.5.设n阶矩阵A满足,则A为可逆矩阵.证明:因为,即所以,A为可逆矩阵.6..设,为随机事件,试证:证明:由事件的关系可知而,故由概率的性质可知 7.设n阶矩阵A满足,则A为可逆矩阵.证明:因为,即;所以,A为可逆矩阵.8.设向量组,若线性相关,证明线性相关.证明:因为向量组线性相关,故存在一组不全为0的数,使成立.于是存在不全为0的数,使9.若证明:因为所以有即,10.设,是两个随机事件,试证:证明:由事件的关系可知而,故由加法公式和乘法公式可知证毕. 11.设是同阶对称矩阵,试证:也是对称矩阵证明:因12.设是n阶矩阵,若=0,则.证明:因为===所以13.设向量组线性无关,令,,,证明向量组线性无关。证明:设,即因为线性无关,所以解得k1=0,k2=0,k3=0,从而线性无关.14对任意方阵,试证是对称矩阵.证明:是对称矩阵15若是阶方阵,且,试证或.证明:是阶方阵,且?或16若是正交矩阵,试证也是正交矩阵.证明:是正交矩阵即是正交矩阵17.试证:任一4维向量都可由向量组,,,线性表示,且表示方式唯一,写出这种表示方式.证明: 任一4维向量可唯一表示为 1⒏试证:线性方程组有解时,它有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组只有零解.证明:设为含个未知量的线性方程组该方程组有解,即从而有唯一解当且仅当而相应齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组只有零解19.设是可逆矩阵A的特征值,且,试证:是矩阵的特征值.证明:是可逆矩阵A的特征值?存在向量,使即是矩阵的特征值20.用配方法将二次型化为标准型.解: 令,,,即则将二次型化为标准型
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