部分受到质疑。实际上,也恰恰是这三次危机,引发了数学上的三次思想解放,大大推动了数学科学的发展。Р3Р一、第一次数学危机Р第一次数学危机是由不能写成两?个整数之比引发的,我们在第一章已专?门讨论过,现再简要回顾一下。Р4Р这一危机发生在公元前5世纪,危机?来源于:当时认为所有的数都能表示为整?数比,但突然发现不能表为整数比。? 其实质是: 是无理数,全体整数之比?构成的是有理数系,有理数系需要扩充,需?要添加无理数。Р5Р当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法,回避了是无理数的实质,而是用几何的方法去处理不可公度比。这样做的结果,使几何的基础牢靠了,几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《几何原本》中也采用了这一说法,以致在以后的近二千年中,几何变成了几乎是全部严密数学的基础。? 但是彻底解决这一危机是在19世纪,依赖实数理论的建立。Р6Р二、第二次数学危机Р第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的,第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的,是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。Р7Р1.危机的引发? 1)牛顿的“无穷小”? 牛顿的微积分是一项划时代的科学成就,蕴含着巨大的智慧和创新,但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。? 微积分的一个来源,是想求运动物体在某一时刻的瞬时速度。在牛顿之前,只能求一段时间内的平均速度,无法求某一时刻的瞬时速度。Р8Р例如,设自由落体在时间下落的距离为,有公式,其中是固定的重力加速度。我们要求物体在的瞬时速度,先求。Р∴(*)Р9Р当变成无穷小时,右端的也变成无穷小,因而上式右端就可以认为是,这就是物体在时的瞬时速度,它是两个无穷小之比。? 牛顿的这一方法很好用,解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格,遭到责难。Р10
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