的方法去处理不可公度比。这样做的结果,使几何的基础牢靠了,几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《几何原本》中也采用了这一说法,以致在以后的近二千年中,几何变成了几乎是全部严密数学的基础。但是彻底解决这一危机是在 19 世纪,依赖实数理论的建立。 7 二、第二次数学危机第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的,第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的,是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。 8 1.危机的引发 1)牛顿的“无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就,蕴含着巨大的智慧和创新,但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。微积分的一个来源,是想求运动物体在某一时刻的瞬时速度。在牛顿之前,只能求一段时间内的平均速度,无法求某一时刻的瞬时速度。 9 例如,设自由落体在时间下落的距离为, 有公式,其中是固定的重力加速度。我们要求物体在的瞬时速度,先求。∴(*) t )(tS 22 1)( gttS?g 0tt S?? 2 2 1 0 1 0 2 2 2 0 0 0 1 1 ( ) ( ) 2 2 1 1 [( ) ] [2 ( ) ] 2 2 S S t S t gt gt g t t t g t t t ? ? ???? ??????? 01 ( ) 2 S gt g t t ?? ??? 10 当变成无穷小时,右端的也变成无穷小,因而上式右端就可以认为是,这就是物体在时的瞬时速度, 它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用,解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格,遭到责难。 t?)(2 1tg?? 0 gt 0t
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