确)同步:两个或多个动力学系统,除了自身的演化外,其间还有相互作用(耦合),这种作用既可以是单向的,也可以是双向的。当满足一定条件时,在耦合的影响下,这些系统的状态输出就会逐渐趋同进而完全相等,称为同步(精确同步)。广义的同步还包括相同步和频率同步等等。复杂系统中的同步主要有两大类:完全同步和广义同步,前者两个相同单元研究得比较多,两个不同单元研究得比较少;后者包括部分同步,如相同步、滞后同步、频率同步等。两个不同单元的同步研究更具挑战性,是今后一个重要研究方向。*三、复杂网络的完全同步判据1.数学描述首先介绍一般连续时间耦合网络的完全同步问题。设连续时间耗散耦合动态网络中有个相同的节点,其中第个节点的状态变量为:单个节点满足的状态方程是:多个节点的耦合动态网络中,的状态方程是:(1)其中:是定义好的函数(通常是非线性的)常数为网络的耦合强度;1节点状态变量之间的内部耦合函数,也称为节点的输出函数,这里假设每个节点的输出函数是相同的。所谓耗散耦合是指耦合矩阵满足耗散耦合条件。当所有的节点状态都相同时,(1)式右端的耦合项自动消失。如果在动态网络(1)中,当时有:(2)则称网络达到完全(渐进)同步。这里,称为网络状态空间中的同步流形。当同步实现后,记其结果为:(3)这里称为同步状态。2.同步的判定对状态方程(1),关于同步状态做线性化,令为第个节点状态向量的变分,则可以得到变分方程:(4)这里,和分别是和关于的Jacobi矩阵,通常要求为无界。令:则上式可以写成矩阵方程:(5)做分解,其中,而是矩阵的特征根且。令,则有:(6)判断同步流形稳定的一个常用判据是要求方程(6)的横截lyapunov指数全为负值。在方程(6)中,只有和与相关,并考虑到外耦合矩阵A为非对称阵时,其特征值可能为复数,故定义主稳定方程为:其最大lyapunov指数是变量和的函数,称为动力网络的主稳定函数。
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