五节微分方程在医学上的应用Р一、细菌的繁殖Р二、药物动力学模型Р三、流行病数学模型Р随着整个科学技术的数学化,现代医学也加快了向数学化发展的速度.普遍地、有效地应用数学方法来解决医学科研中的问题,提示其中的数量规律性,已成为现代医学发展的潮流.这种提示医学问题中各变量之间关系的解析式,称为数学模型.而微分方程是建立数学模型时应用得最为广泛的工具之一.下面我们举几个例子,初步说明现代医学定量分析研究的方法和一些途径.Р在例5.1中曾提到过“理想环境”中的细菌增殖模型.所谓理想环境是指所论及的系统满足三个条件:Р一、细菌的繁殖Р(3)温度、湿度等各项环境因素均对系统适宜.因此“理想环境”至多只是实验室内人为制造的环境.自然环境中的空间和资源总是有限度的.Р(1)没有由系统外向系统内迁入和由系统内向系统外迁出等情况;Р(2)系统本身的繁殖不受空间和营养供应的限制;Р实际上生物的出生率和死亡率都受着它们的所处的环境的影响:当资源丰富、生存条件较好时,出生率增加,死亡率减少;当该生物总数过多资源供不应求时,出生率减少而死亡率增加.Р现假定出生率p和死亡率q都是生物总数x的函数,即Р其中都是正数,Р则有Р所以有Р称为相对增殖速率.Р0РtР分析:Р上式称为自然生长方程,也称 logistic方程,它对表达自然环境中生物种群的生长有着重要的意义.式中的图形为S形曲线,称为logistic曲线。Р解得Р是该蓄水池中大?肠杆菌密度的极限值.Р二、药物动力学模型Р药物动力学是一门研究药物、毒物及其代谢物在机体内的吸收、分布、代谢和排泄过程定量规律的科学.这里仅以最简单的一室模型为例,说明微分方程在这方面的应用.Р例5-18 假定药物以恒定的速率进行静脉滴注,试求体内药量随时间的变化规律.Р解把机体设想为一个同质单元,并假定药物在体内按一级速率过程消除,消除的速率常数为.这样的一室模型如图所示.
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