微分几何讲义 王幼宁

u u = ( ? c o s u , ? s i n u , 0 ) , ? r ? u × ? r ? v = ( c o s u , s i n u , 0 ) , ∫ r v d v = ( c 1 ( u ) , c 2 ( u ) , v + c 3 ( u)) = ( 0 , 0 , v ) + c , 其中 c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) 是 u 的一元向量函数而与 v 无关. ⒉性质以一元向量函数的求导为例. 设一元向量函数 f ( t ) = ( f 1 ( t ) , f 2 ( t ) , f 3 ( t )) , g ( t ) = ( g 1 ( t ) , g 2 ( t ) , g 3 ( t )) , h ( t ) = ( h 1 ( t ) , h 2 ( t ) , h 3 ( t)) 可微, 一元函数λ( t ) 可微.则①( λ f ) ′= λ′ f + λ f ′; ②( f ? g ) ′= f ′? g + f ? g ′; ③( f × g ) ′= f ′× g + f × g ′; ④( f , g , h ) ′= ( f ′, g , h ) + ( f , g ′, h ) + ( f , g , h ′) ; ⑤对连续可微函数 t = t ( u ) 有 d d u [ f ( t ( u ) ) ] = f ′( t ( u ) ) d t d u . 其证明采用分量形式可以直接得到, 比如性质③的推导: ( f × g ) ′= d d t i j k f 1 f 2 f 3 g 1 g 2 g 3 = i j k f 1 ′ f 2 ′ f 3 ′ g 1 g 2 g 3 + i j k f 1 f 2 f 3 g 1 ′ g 2 ′ g 3 ′= f ′× g + f × g ′;