= ~- 2 = 2 >0对任意的 x>I恒成立，\rx (x+I)" x(x +I)\r4\r所以，函数 J(x)=lnx+－—-－2为（I，知）上的增函数，则 f(x)>/( 1) = 0 ;\rx+ I\r(3)升x>O时， 要证ln(x+l)>-h, 即证ln(x+1)> x = ln[(eX -l )+l] ,\rex- I X'ex- I - ex - I\rln(x+ 1)\r构造函数 g(x)= ， 即证 g(x)>g(ex-1).\rX\r当 x>O时，构造函数 h(x)= ex -x-I, 则 h'(x)＝矿 －I>0 ,\r故函数 h(x)在(0,+oo）上为增函数 ， 可得 h(x)>h(O)=O, 即x<ex-1 .\rX\r—- lnl(x+l l) ,\rg'(x) =.K±l\rx\r1 1 X\r令叶）＝~ -ln(x+l)， 其中x>0, 则rp'(x)= ———=— <0\rx+ 1 (x+1)2 x+l (x+1)2 ,\r所以，函数 <p(X)为(0,+IXJ)上的减函数， 当x>O时， 叫x)<q>(O)=O,\rln(x+ 1) ~\r故g'(x)< 0, 即函数g(x)= 力(0,＋～)上的减函数，\rX\r当x>O时， e'-1> X >0， 所以， g(x)> g(ex - 1)，故原不等式得证
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