G〃平面方C:\r(II)求直线OG与平面PBC所成角的正弦值.\r【分析】(I)由已知利用三角形中位线定理证明EF〃山,OE〃尸C,可得EF〃平面B4C,\rDE//nPAC,进一步得到平面。EG〃平面出C,从而得到。G〃平面用C;\r(II)以A为坐标原点,分别以A。、AP所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系,求出\r平面PBC的一个法向量由法与向量蔡所成角的余弦值可得直线DG与平面P8C所成\r角的正弦值.\r【解答】(I)证明:如图,\ry\r":E,尸分别为PB,AB的中点,:.EF//PA,\r平面附C,平面出C,.,.EF/75FffiPAC,\r':D,E,分别为8C,PB的中点,J.DE//PC,\r:PCu平面弘C,D£ct¥ffiPAC,:.DE//nPAC,\r又EF、OEu平面OGE,S.EFHDE=E,\r平面。EG〃平面力C,而DGu平面DEG,\r;.QG〃平面PAC;\r(H)解:以A为坐标原点,分别以A。、AP所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系,\r•.♦△ABC是边长为4的正三角形,以=4,\r:.P(0,0,4),D(0,2显,0),B(2,2次,0),G(1,V3,I).\rPB=(2,2V3,-4),DB=(2,0,0),DG=(1,一痘,1).\r设平面PBC的一个法向量为1={x,y,z),\r则日.巧=2x+2岛-4z=0,取y=|,则"(o,1,孚).\r.n-DB=2%=0\r设直线DG与平面PBC所成角为0,\ri.,-\n-DG\|-/3+f|7105\r贝m(i]sin0Q=|cos<n,DG>|=-3rL=।—\r\n\\DG\J1+款店”\r,直线DG与平面PBC所成角的正弦值为警.\r35\r【点评】本题考查平面与平面平行的判定与性质,考查空间想象能力与思维能力,训练\r了利用空间向量求解空间角,是中档题.
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