εy=∂v∂y=-z∂2ω∂y2γxy=∂u∂y+∂v∂x=-2z∂2ω∂x∂y二.分析题(20分)1.(10分)对于四节点矩形单元我们通常建立如下位移函数,请分析此位移函数下单元的完备性和协调性。这个位移函数是x,y的双线性函数,其中α1、α2、α3,和α5、α6、α7反映了刚体位移和常应变,所以这种单元是完备单元。另外,在相邻单元的公共边界χ=±α和Y=±b上,位移函数按线性变化,而相邻单元的边界的各点有相同的位移,这就保证了相邻单元的协调性,因此这种单元也是协调单元。2.(10分)有限元法在拼装整体刚度矩阵时可用扩充单元刚度方程法和对号入座法。整体刚度矩阵中非零元素集中分布在主对角元素两侧,呈带状分布,其集中程度与节点编号有关。如下图所示平面问题的两种结点编号方式,第一种编号方式对应的整体刚度矩阵非零元素的分布已在左边矩阵中标出,请将第二种编号方式非零元素的分布在右边的矩阵中中标出(可用对号入座法)。并分析哪种编号方式更好。注:半带宽B=(相关节点编号最大差值+1)×(每个结点的自由度)第一种编号方式:B=(2+1)×2=6第一种编号方式:B=(4+1)×2=10为了节省计算机存储空间和计算时间,应该使半带宽尽量小,所以第一种编号方式好。三.计算题(30)1.(20分)图1所示为一个平面应力状态的直角三角形单元,弹性模量为E,泊松比μ=0,厚度为t,试求:(1)形函数矩阵(2)应变矩阵(3)单元刚度矩阵注:1.平面应力状态下图12.解:(1)(2)(3)答题时需写出必要的推导过程431245°42.(10分)图2所示的四节点矩形单元,求出节点3的位移。设厚度t=1m,μ=0,E为常量。45°2m2m图2注:对于四节点矩形单元有:1.→2.,解:,代入边界条件μ1=ν1=μ2=ν2=μ4=ν4=0,将对应的行和列划掉没剩下的方程为:,又,且,a=1,b=1所以所以→解得
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