分量或表达式。例如下标i为ui的自由标,表示张量的三个分量。而xi=cijyj中,j为哑标,表示需要从1到3求和,而i为自由标,表示 上式说明自由标的个数表示了张量表达式所代表的方程数。§3偏导数的下标记法在弹性力学在,经常可见到诸如位移分量,应力分量和应变分量等张量对坐标xi的偏导数,为表达张量的偏导数的集合体,引入逗号约定。逗号约定:为了缩写含有对一组直角坐标xi取偏导数的表达式,我们规定当逗号后面紧跟一个下标i时,表示某物理量对xi求偏导数。即 利用偏导数的下标记法,弹性力学中常用的偏导数均可缩写表示。如 可以证明,上述每一个偏导数所组成的集合都是张量。例如,对于九个量的集合ui,j,如果作坐标变换,则由公式可得 由于坐标变换时,新旧坐标之间的关系为 。即,回代可得 由此可证,ui,j服从二阶张量的变换规律。因此,它是二阶张量。同理可证其他的张量的偏导数集合也是张量。§4特殊的张量符号克罗内克尔记号:张量分析时经常需要某种代换运算, 因此引入克罗内克尔(KroneckerDelta)记号 dij。其定义为,显然,克罗内克尔记号表示单位矩阵的各个元素。 克罗内克尔记号满足张量变换关系,也是二阶张量,它有以下运算规律。置换符号: 在张量分析中,除了克罗内克尔记号dij之外,还有一个替代符号,称为置换符号eijk它定义为 所谓1,2,3的偶排列,是指对有序数组1,2,3逐次对换两个相邻的数字而得到的排列,反之为奇排列,因此二阶对称张量反对称张量: 设T为二阶张量,如果其分量满足条件,则称T为二阶对称张量。应力张量,应变张量,克罗内克尔记号dij等都是二阶对称张量。 另一方面,如果其分量满足条件,则称T为二阶反对称张量。 任意一个二阶张量,总是可以分解为一个对称张量和一个反对称张量之和。 当然,张量的对称和反对称性质,可以推广到二阶以上的高阶张量中去。
全文预览
