。记M=i=1nji,当M=n时,对应A中一个元素,即ak11k21k31…kn1;当M=n+1时,对A应中n个元素ak12k21k31…kn1…等等。由于dimA=n≠+∞,所以当M取定一个大于等于n的数时,必有A中有限个元素与之对应,有限个元素必可列,所以当M=i时,记Mi为包含对应A中元素的集合,因此集合A可以这样排列:Mn,Mn+1,Mn+2,…,Mp,…,每个Mi可列,所以A为可列集,证毕。必要性:若A=ak1k2k3…kn可列,记P=maxcardKi,则A中元素可与ki-1进制小数对应,当然,此时cardKi≠+∞。若存在cardKi=+∞,则可以利用充分性中的证明方法将这些Ki中的元素排列,并作为整数部分,可写成m1k1k2k3…。有限小数“维度”不为+∞,证毕。结论2:∀A,dimA=+∞,则集合A不可列,即无限维集合不可列。这时,如果用结论1中充分性的方法,M=n+1时,即n=+∞时的M=n+1。这时A中有无限个元素与之对应,导致M=n+2时的集合无法排列。那么还有没有其它方法进行排列呢?(答案是:没有)。这时,如果我们采用必要性中的方法,发现A中元素其后对应的小数是无限不循环小数,对应实数,故这样的A不可列。(结合结论1的证明,可见结论2也是充要的。)这样以来,我们就知道如何断定集合是否可列。不过大家是否发现,“维度”与“长度”似乎是对称的。为什么长度无限、维度有限就可列,而长度有限、维度无限就不可列呢?其实,维度和长度并不对称。沿用上面的符号,如果长度是无限的,元素个数与nm是一个量级;如果维度是无限的,元素个数的量级为mn。我们知道∞m≪m∞,即limn→∞nmmn=0。故不可列集比可列集元素多得多。对于有理数,可知ak1k2=k1k2,可一个2维无穷长的集合,对于循环小数:是一个m维10长集合,m即为从第m位小数后开始循环。因此,这些集合都可列。
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