v(t + %, t) = v(z,£) for all (x,t) G R3 x [0, oo).Р因此方程不是在整个空间，而是在一商空间耻3/%3,也就是一个3维环面：РT3 = {(色,皈的)：0。但 V 2们 2=1,2,3}.Р有上述的说明后，可以说明需要的假设。初始条件Vo(Q)假设是一个光滑及无散度的函数，外力也是 一个光滑函数。满足以下的条件：РV(I,£) C [。8(『x [0,oo))]3 , p(x,t)?x [0,oo))Р, x [ |v(i,£)|2血 < EР 存在一常数已6(。，8)使得/ir3?对于所有Р和之前的条件类似，条件3表示函数是光滑及全局定义，条件4表示此解的动能在全局中有上下界。РР2周期性的千禧年大奖难题描述РT3空间下纳维-斯托克斯方程解的存在性及光滑性Р令f(ij)三0,对于任何满足上述假设的初始条件Vo(z),纳维-斯托克斯方程存在一光滑及全局 定义的解，就是存在一速度矢量V(1J)及压强P(1J)满足上述的条件3及条件4。РT3下纳维-斯托克斯方程解存在性的反证Р存在一初始条件Vo(Q)及外力使得纳维-斯托克斯方程不存在一解满足上述条件3及条件4。Р5部分结果Р二维空间下的纳维-斯托克斯问题已在1960年代得证：存在光滑及全局定义解的解。Р在初速v(z,£)相当小时此问题也已得证：存在光滑及全局定义解的解。Р3Р若给定一初速Vo(z),且存在一有限、依Vo(z)而变动的时间T,使得在啾X (0,T)的范围内, 纳维-斯托克斯方程有平滑的解，还无法确定在时间超过7后，是否仍存在平滑的解。Р数学家让•勒雷在1934年时证明了所谓纳维-斯托克斯问题弱解的存在,此解在平均值上满足 纳维-斯托克斯问题，但无法在每一点上满足。Р6脚注Рi.更精准地说，p(iJ)是流体压强除以流体密度后的商，对于不可压缩的匀质流体，密度为一定值。
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