=180°-45°=180°-∠EDA=∠EDC又∵∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点∴AB=DC在△ABE和△DCE中,AE=DE,∠EAB=∠EDC,AB=DC∴△ABE≌△DCE(SAS)∴BE=EC24.(本题12分)在△ABC中,∠ACB=2∠B,(1)如图①,当∠C=90°,AD为∠ABC的角平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD.请证明AB=AC+CD;(2)①如图②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请直接写出你的结论,不要求证明;②如图③,当∠C≠90°,AD为△ABC的外角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明.(1)证明:∵∠ACB=2∠B,∠C=90°∴∠B=∠BAC=45°在△ADE和△ADC中,∵AE=AC,AD=AD,AD为∠ABC的角平分线时,即∠EAD=∠CAD∴△ADE≌△ADC∴DE=DC,∠AED=∠ACD=90°又∵∠B=45°∴△EBD为等腰直角三角形∴BE=DE=DC∴AB=AE+BE=AC+CD(2)解:①AB=AC+CD(若要证明的话,在(1)△ADE≌△ADC的基础上加上“∵∠AED=∠ACD=2∠B=∠B+∠EDB∴∠B=∠B+∠EDB”的条件即可)②CD=AC+AB,证明如下:如图24-1,在CD上截取CG=AC,则∠CAG=∠CGA又∵∠ACB为△ACG的外角,∠ACB=2∠B∴∠ACB=∠CAG+∠CGA=2∠CAG=2∠B∴∠CAG=∠CGA=∠B∴AB=AG又∵∠DAF为△ABD的外角∴∠DAF=∠B+∠D又∵AD为△ABC的外角平分线∴∠CAD=∠CAG+∠DAG=∠DAF=∠B+∠D∵∠CAG=∠B∴∠DAG=∠D∴AG=DG∴CD=CG+GD=AC+AG=AC+AB猜想得证。图24-1
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