方程组描述(Volterra模型)(1)5.2模型的求解首先将式(1)的两式相除,消去得到这是可分离变量方程两边积分得到的通解(2)其中常数由初始条件确定。式(2)的解描述了野兔和狐狸的数量随时间的变化过程,但是得不到的解析解,需要用数值算法求解。5.2.1问题一的求解将题目所给数据代入式(1)和式(2)得(3)为了分析野兔和狐狸的数量随时间的变化,任取三组数据分别作为野兔和狐狸数量的初值,用Matlab编程求得模型的数值解并绘制野兔和狐狸数量随时间变化的图像以及狐狸和野兔的数量变化关系图像,由以上两图得出野兔和狐狸数量呈现周期性变化。Matlab程序及得到的数值结果见附录,三组不同初值对应的及的图形分别见图1-甲——图3-乙从以上三图可以看出,不论初始时刻野兔和狐狸数量大小关系如何变化,两物种的数量变化都有如下规律:当狐狸数量增加时,野兔数量开始减少;狐狸数量达到峰值时便开始递减,然后野兔数量回升;野兔数量达到峰值后再次减少。两种动物的数量都呈现出周期性的变化,各自达到一个峰值就会趋于平衡,但是两个峰值不在同一时刻达到,这符合捕食与被捕食的关系,是捕食与被捕食系统的振荡现象。5.2.2问题二的求解令式(3)中两式为0因,所以捕获野兔时,野兔狐狸数量皆增加求得平衡点为,结合两物种数量变化关系图4-甲知野兔和狐狸的平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。5.2.3问题三的求解考虑人工捕获,引入人工捕获系数和。5.2.3.1只捕获野兔设只捕获野兔的捕获系数为,此时野兔的自然增长率由降为,狐狸的自然死亡率由增为。改进后模型为(4)将题目所给数据代入式(4)得(5)令式(5)中两式为0,得求得平衡点或 (舍去)因,所以捕获野兔时,狐狸数量减少,野兔数量反而增加。即Volterra原理:为了减少强者,只需捕获弱者5.2.3.2只捕获狐狸设只捕获狐狸的捕获系数为,此时野兔的自然增长率由增为
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