形单元,由于有3个节点,每一个节点有两个位移,因此共有6个节点位移,考虑到简单性、完备性、连续性及待定数的唯一确定性原则,分别选取单元中各个方向的位移模式为N(x,y)=Ni=(a+bix+ciy),i=1,2,3其中a=x2y3-x3y2,b=y2-y3,c=-x2+x3上式中的符号(1,2,3)表示下标轮换,如1→2,2→3,3→1同时更换。u(x,y)=N(x,y)·qc.单元的应力场描述(x,y)===[?]u其中[?]为几何方程的算子矩阵(operatormatrix),即[?]=(x,y)=[?]·N(x,y)·q=B(x,y)·q B=[B1 B2 B3] 其中 Bi=·,i=1,2,3 d.单元的应变场描述由弹性力学中平面问题的物理方程,将其写成矩阵形式其中平面应力问题的弹性系数矩阵D为D=若为平面应变问题,则将上式中的系数(E,μ)换成平面应变问题的系数。e.单元的势能表达单元的势能的表达以上已将单元的三大基本变量(u,,εσ)用基于节点位移列阵来进行表达q来进行表达,将其带入单位势能的表达式,有其中K是单元刚度矩阵,即t为平面问题的厚度,这时B为常系数矩阵,因此上式可以写成其中各个矩阵为其中f.单元刚度阵及刚度方程将单元的势能式对节点位移取一阶极值,可得到单元的刚度方程q(3)整体刚度阵及刚度方程a.单元贡献矩阵各个单元的描述当两个单元取图示中的局部编码(i,j,m)时,其单元刚度矩阵完全相同,即b.整体刚度阵及刚度方程按单元的位移自由度所对应的位置进行组装可以得到整体刚度矩阵,该组装过程可以写成具体写出单元刚度矩阵的各个子块在总刚度矩阵的对应位置如下带入整体刚度Kq=p中有,(4)边界条件的处理及方程求解该问题的位移边界条件是u3=0,v3=0,u4=0,v4=0,将其带入上式中,划去已知节点位移对应的第5行至第8行(列),则
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