任作一直线,与抛物线相交于两点.一条垂直于轴的直线,分别与线段和直线交于点.(1)若,求的值;(5分)(2)若为线段的中点,求证:为此抛物线的切线;(5分)(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.(4分)19.本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算,考查分析问题、探索问题的能力.满分14分.ABCPQOxyl解:(1)设直线的方程为,将该方程代入得.令,,则.因为,解得,或(舍去).故.(2)由题意知,直线的斜率为.又的导数为,所以点处切线的斜率为,因此,为该抛物线的切线.(3)(2)的逆命题成立,证明如下:设.若为该抛物线的切线,则,又直线的斜率为,所以,得,因,有.故点的横坐标为,即点是线段的中点.性质2:例7.(13广东)已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)当点为直线上的定点时,求直线的方程;(Ⅲ)当点在直线上移动时,求的最小值.性质3:22.(05江西)如图,设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求△APB的重心G的轨迹方程.(2)证明∠PFA=∠PFB.22.解:(1)设切点A、B坐标分别为,∴切线AP的方程为:切线BP的方程为:解得P点的坐标为:所以△APB的重心G的坐标为,所以,由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹方程为:(2)因为由于P点在抛物线外,则∴同理有∴∠AFP=∠PFB.性质4:过焦点的阿基米德三角形面积的最小值为(21)(06年全国卷2)已知抛物线的焦点为F,A、B是热线上的两动点,且过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M。(I)证明为定值;(II)设的面积为S,写出的表达式,并求S的最小值。
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