..3分因为是有界可测函数,在上是可积的…6分因为与相等,进一步,…8分考生答题不得超过此线2、(8分)求解:设,则易知当时,…………………………..2分又因,(),所以当时,………………4分从而使得…………………………………6分但是不等式右边的函数,在上是可积的,故有…………………………………8分五、证明题(6分×4+10=34分).1、(6分)证明上的全体无理数作成的集其势为.证明:设…………………………2分……………………………….3分…………..5分………………………………………………6分2、(6分)设是上的实值连续函数,则对于任意常数是闭集。证明:……….2分………………………………………….3分…………………………………………………………5分…………………………………………………….6分考生答题不得超过此线3、(6分)在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。证明:对,,使对任意互不相交的有限个当时,有………………2分将等分,使,对,有,所以在上是有界变差函数……………………………….5分所以从而,因此,是上的有界变差函数…………………………………………………………..6分4、(6分)设在上可积,,则.证明:在上可积……2分据积分的绝对连续性,,有………………………………………………….4分对上述,从而,即…………………6分得分阅卷人复查人5、(10分)设是上有限的函数,若对任意,存在闭子集,使在上连续,且,证明:是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)证明:存在闭集在连续………………………………………………………………2分令,则在连续…………………………………………………………4分又对任意,…………………………………………….6分故在连续…………………………..8分又所以是上的可测函数,从而是上的可测函数………………………………………………………..10分
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