偏导得故两边同时对y求偏导得故(2)两边同时对x求偏导得故两边同时对y求偏导得故习题7-61.求下列函数的极值:(1)f(x,y)=x2+y3-6xy+18x-39y+16;(2)f(x,y)=3xy-x3-y3+1.解:(1)先解方程组得驻点为(-6,1),(6,5).在点(-6,1)处,Δ=AC-B2=2×6-36<0,所以f(-6,1)不是极值;在点(6,5)处,Δ=AC-B2=2×30-36>0,又A>0,所以函数在(6,5)处有极小值f(6,5)=-90.(2)先解方程组得驻点为(0,0),(1,1).在点(0,0)处,Δ=AC-B2=-9<0,所以f(0,0)不是极值;在点(1,1)处,Δ=AC-B2=27>0,又A<0,所以函数在(1,1)处有极大值f(1,1)=2.2.求函数f(x,y)=x2-2xy+2y在矩形区域D={(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤2}上的最大值和最小值.解:(1)先求函数在D内的驻点,解方程组得唯一驻点(1,1),且f(1,1)=1.(2)再求f(x,y)在D的边界上的最值.在边界x=0,上,f(x,y)=2y,因此最大值为f(0,2)=4,最小值为f(0,0)=0;在边界x=3,上,f(x,y)=-4y+9,因此最大值为f(3,0)=9,最小值为f(3,2)=1;在边界y=0,上,f(x,y)=x2,因此最大值为f(3,0)=9,最小值为f(0,0)=0;在边界y=2,上,f(x,y)=x2-4x+4,因此最大值为f(3,2)=1,最小值为f(2,2)=0;(3)比较上述得到的函数值,从而得到f(3,0)=9为最大值,f(0,0)=0为最小值.3.求函数f(x,y)=3x2+3y2-x3在区域D:x2+y2≤16上的最小值.解:(1)先求函数在D内的驻点,解方程组得驻点(0,0),(2,0),且f(0,0)=0,f(2,0)=4.
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