由于不等式关于、、对称,可设芈?于是.肇?由排序不等式,得(乱序和).芆及莂?以上两个同向不等式相加再除以2,即得原式中第一个不等式.再考虑数组芁?,仿上可证第二个不等式,请读者自己完成.肇?【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组,而数组的构造应从需要入手来设计.这一点应从所要证的式子的结构观察分析,再给出适当的数组.莃?例3:在△ABC中,试证:膄?【思路分析】可构造△ABC的边和角的序列,应用排序不等式来证明之.肀?【详解】不妨设,于是由排序不等式,得膇?螄?相加,得,薂?得①衿?又由有芇?膅?得②芃?由①、②得原不等式成立.蚈?【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明.莇?例4:设是互不相同的自然数,试证薆?【思路分析】应先构造两个由小到大的排序.螁?【略解】将按由小到大的顺序排成其中是1,2,…,n的一个排列,则于是由排序不等式,得蚀?蒇?例5:设是正数的一个排列,求证螂?【思路分析】应注意到蒃?【略证】不妨设,因为都大于0.所以有,葿?又的任意一个排列,于是得到薇?膃?【评述】此题比较简单,但颇具启发意义,读者应耐心体会.羁?例6:设正数的乘积,试证:膈?【略解】设,这里都是正数,则原需证明的不等式化为蚇中最多只有一个非负数.若中恰有一个非正数,则此时结论显然成立.若均为正数,则是某三角形的三边长.容易验证薄?蚃?故得芁?【评述】利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题:设正数、、的乘积蚆证明羅?证明:设,且所需证明的不等式可化为肁,现不妨设,则羀?,据排序不等式螆?得莆?及螃?两式相加并化简可得蝿?袆?例7:设实数是的一个置换,证明:蒃?芁?【略解】显然所需证不等式等价于这由排序不等式可直接得到.薈?【评述】应用此例的证法可立证下题:羆?设是两两互异的正整数(,证明对任意正整数,均有袄?证明:设是的一个排列,使,则从条件知对每个,于是由排序不等式可知
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