意,,,当时,令,则.因为,所以,其中,.因为,所以,,所以当时,,当时,,所以函数在上是增函数,在上是减函数,故为函数的极大值点,函数无极小值点.22.已知函数fx=ex−12x2.(Ⅰ)讨论函数fx的单调性;(Ⅱ)已知点M1,0,曲线y=fx在点Px0,fx0−1≤x0≤1处的切线l与直线x=1交于点N,求ΔMON(O为坐标原点)的面积最小时x0的值,并求出面积的最小值.【答案】(1)单调递增(2)x0=0时,ΔMON的面积有最小值1.【解析】试题分析:(1)先求导数,再求导函数零点,根据零点分区间讨论导函数符号,即得函数fx的单调性;(2)先根据导数几何意义得切线斜率,根据点斜式写出切线方程,与x=1联立得点N,再根据三角形面积公式得SΔMON=1-12x0ex0-12x0,利用导数研究函数gx=1-12xex-12x单调性,即得最小值.试题解析:解:(Ⅰ)依题意,f'x=ex-x.令mx=ex-x,故m'x=ex-1,令m'x=0,解得x=0,故mx在-∞,0上单调递减,在0,+∞上单调递增,故mxmin=m0=1,故ex-x>0,即f'x>0,故函数fx在R上单调递增.(Ⅱ)依题意,切线l的斜率为f'x0=ex0-x0,由此得切线l的方程为y-ex0-12x02=ex0-x0x-x0,令x=1,得y=ex0-12x02+ex0-x01-x0=2-x0ex0-12x0,所以SΔMON=12OM⋅y=122-x0ex0-12x0=1-12x0ex0-12x0,x0∈-1,1.设gx=1-12xex-12x,x∈-1,1.则g'x=-12ex-12x+1-12xex-12=-12x-1ex-1,令g'x=0,得x=0或x=1.gx,g'x的变化情况如下表:所以gx在-1,0上单调递减,在0,1上单调递增,所以gxmin=g0=1,即x0=0时,ΔMON的面积有最小值1.
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