极小值∴①,②,③由①②③联立得:,∴?(2)设切点Q,过令,求得:,方程有三个根。需:故:;因此所求实数的范围为:题3已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法:根分布或判别式法例8、解:函数的定义域为(Ⅰ)当m=4时,f(x)=x3-x2+10x,=x2-7x+10,令,解得或.令,解得可知函数f(x)的单调递增区间为和(5,+∞),单调递减区间为.(Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6,1要使函数y=f(x)在(1,+∞)有两个极值点,=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1,+∞)根分布问题:则,解得m>3例9、已知函数,(1)求的单调区间;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且仅有3个极值点,求a的取值范围.解:(1)当时,令解得,令解得,所以的递增区间为,递减区间为.当时,同理可得的递增区间为,递减区间为.(2)有且仅有3个极值点=0有3个根,则或,方程有两个非零实根,所以或而当或时可证函数有且仅有3个极值点其它例题:1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在上的函数在区间上的最大值是5,最小值是-11.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)若时,恒成立,求实数的取值范围.解:(Ⅰ)令=0,得因为,所以可得下表:0+0-↗极大↘因此必为最大值,∴因此,,即,∴,∴(Ⅱ)∵,∴等价于,令,则问题就是在上恒成立时,求实数的取值范围,为此只需,即,解得,所以所求实数的取值范围是[0,1].2、(根分布与线性规划例子)已知函数(Ⅰ)若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式;(Ⅱ)当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.解:(Ⅰ).由,函数在时有极值,∴∵∴又∵在处的切线与直线平行,∴故∴…………………….7分(Ⅱ)解法一:由及在取得极大值且在取得极小值,∴即令,则
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