实的,而且符号相同。这样的定点(奇点)称为结点。T>0时它是不稳定结点,T<0时是稳定结点。凡是和小于零的奇点,因为指数为负的,导致趋于零(t),都是稳定的,反之是不稳定的。Р(2) 情形这时两个特征根都是复数(),其虚部表示振荡过程(),实部()则表示振荡的振幅。时, ,振幅按指数形式增长,解或定点(奇点)便是不稳定的; 时, ,振幅按指数形式衰减,解或定点便是稳定的。这样的定点称为焦点或螺线极点。因此焦点也有不稳定焦点和稳定焦点之分:(从而)时是不稳定焦点,(从而)时是稳定焦点.Р(3)情形这时两特征根都是虚的,从而解是振荡的,其在相平面上的轨线是一些闭曲线,这时的定点(奇点)称为中心。Р(4)情形这时两特征根都是实的,其中之一是正的,另一是负的,从而这种奇点在相平面上一个方向是不稳定的,另一方向是稳定的,相应的定点(奇点)称为鞍点。Р3 圆轨道的稳定性Р3.1 圆形轨道的微扰微分方程Р3.1.1 取一阶微扰近似Р地球绕太阳运行的轨道是接近于圆形的椭圆。我们知道,对圆形轨道来讲,r或为常数。由比耐公示可知,在有心力作用下,对任何质点(或星体)来讲,如投掷(起始)速度的方向垂直于位矢,且满足Р (3.1)Р的关系,则不论其半径为何,都将作圆形轨道的运动,式中为单位质量上所受的吸引力。现在我们要问,这种圆形轨道是稳定的还是不稳定的?这个问题在物理上是很重要的。因为自然界中微小扰动是经常存在的,它将破坏不稳定的圆形轨道,只有稳定的圆形轨道,才有机会继续下去。Р令及为某一圆形轨道的之值,显然Р (3.2)Р为了研究扰动,我们令,式中及其微商均认为是很小的微量,把代入比耐公示中,得Р+ = (3.3)Р即引入微扰后轨道偏差的微分方程Р把式(3.3)的右边展为的幂级数,得Р= Р= Р= (3.4)Р又因为,即,则整理后为Р (3.5)Р式中,,下标0表示当时所算出来的值。Р令,则
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