于它可以准确对图像建模,从而很好的解决了图像处理中许多复杂的问题.如今,偏微分方程已广泛的应用于图像处理的各个方面.例如求图像信息的最优估计等。Р自从计算机问世以来,偏微分方程的数值解法得到很大发展,因此,可以说偏微分方程数值解法本身就是一个庞大的项目,解偏微分方程的方法有很多,比如超松弛迭代法(SOR),雅克比迭代法,高斯-赛德尔迭代法,考虑到各种算法的迭代效率和迭代精度,本系统选用高斯-塞德尔迭代法进行光照模型分离的迭代运算。下面介绍下高斯-塞德尔迭代法解偏微分方程的过程。Р元线性方程组Р (2.4)Р 写成矩阵形式为。若将式(2.4)中每个方程的留在方程左边,其余各项移到方程右边;方程两边除以则得到下列同解方程组:Р (2.5)Р记,构造迭代形式Р (2.6)Р或Р (2.7)Р 迭代计算式(2.7)称为简单迭代或雅可比迭代。任取初始向量,由式(2.7)可得到迭代向量序列。Р在雅可比迭代中,用的值代入方程(2.4)中计算出的值,的计算公式是Р (2.8)Р事实上,在计算前,已经得到的值,不妨将已算出的分量直接代入迭代式中,及时使用最新计算出的分量值。因此的计算公式可改为:Р (2.9)Р即用向量计算出的值,用向量计算出的值,用向量计算出的值,这种迭代格式称为高斯—塞德尔迭代。Р对于方程组 ,如果由它构造高斯-塞德尔迭代和雅可比迭代都收敛,那么,多数情况下高斯—塞德尔迭代比雅可比迭代的收敛效果要好,但是情况并非总是如此。Р构造方程组的高斯-塞德尔迭代格式的步骤与雅可比类似,设将式(2.4)中每个方程的留在方程的左边,其余各项都移到方程的右边;方程两边除以,得到下列同解方程组:Р (2.10)Р记,对方程组对角线以上的取第步迭代的数值,对角线以下的取第步迭代的数值,构造高斯—塞德尔迭代形式:Р (2.11)Р高斯—塞德尔迭代矩阵:Р设Р (2.12)Р写成等价矩阵表达式:
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