5、Р题23 设,且,则的最大值是,最小值是.Р(第六届高二培训解答题第2题、第八届高二第一试第23题)Р解法1 ,,.Р由,有,Р.Р记,立得和.故当或时,,当时,.Р解法2 由题意,设.Р则,当且仅当且,即时取等号..又Р.令,则.易知当时,.此时,,即或时,.Р关于的最大值,还有下列解法.Р解法3 ,Р,当且仅当时取等号.Р.Р解法4 ,Р.又,当且仅当时取等号.故.Р评析解法2由考虑到三角换元,这是很自然的事.解法3运用基本不等式及,再由,分别求出与的最大值(注意:必须是与取相同值时与同时取得最大值),从而得到的最大值.解法4与解法3路子不同,实质一样.但解法3、4都只能解决题中的最大值问题,如何求最小值是本题的难点.解法1中将变形为,并由已知得出,是突破这一难点的关键.Р第九届高二第一试第15题:“实数适合条件,则函数的值域是.”其形式与实质都与本题一样.以三角代换法求解最为简捷.(答案为)Р拓展由题引伸,可以得到:Р定理1 设,Р则(1)当时,;Р(2)当时,.Р证明设,则.又设, ,则Р.Р1、当,即时,Р(1),当且仅当时取等号.Р(2),当且仅当时取等号.Р2、当,即时Р(1)当时,.Р(2)当时,.又函数,当时是减函数,故.Р综上所述,当时,;当时,Р.Р进一步引伸,可得Р定理2 ,若,则Р(1)当时,;Р(2)当时,.Р简证.令,再由定理1即可得证.Р再引伸,还可得到Р定理3 设,且,则有Р Р证明及平均值不等式Р题24 若,则的最大值是.Р (第十三届高二培训题第68题)Р解法1 引入参数t,,Р又,Р.考虑到待求最值的二元式是,故令,解得或(舍去),故只需令,即可得.因此,,当且仅当,即时取等号..Р解法2 已知条件式即.令Р即代入待求式,并化简,Р得.故当且仅当时,有最大值160.Р解法3 令.从而有即代入已知等式,得,Р即.Р解法4 ,而Р即.
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