是线性变换。( )Р8.若是正交变换,那么的不变子空间的真正交补也是的不变子空间。( )Р9.欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。( )Р10.若为()中的微分变换,则不可对角化。( )Р三、计算题(共3题,每题10分,共30分)Р1.设线性变换在基下的矩阵为,求的特征值与特征向量,并判断是否可对角化?Р2.取什么值时,下列二次型是正定的?Р3.设三维线性空间上的线性变换在基下的矩阵为:,求在基,下的矩阵。Р四、证明题(共4题,每题10分,共40分)Р1.证明:Р与相似,其中是的一个排列。Р2.证明:和是直和的充要条件为:。Р3.设是级实对称矩阵,且,证明:存在正交矩阵,使得: Р4.证明: 与合同,Р其中是的一个排列。Р答案Р一.1.零 2. 3.充分大 4.正交矩阵 5. 6.有个线性无关的特征向量Р7. 8. 9. Р10. Р二.1. 2. 3. 4.√ 5. 6. 7. 8. √ 9. 10. √Р三.1.解: (3分)Р 所以,的特征值为(二重)和。把代入方程组得:Р 基础解系为Р 因此,属于得两个线性无关得特征向量为: Р因而属于的全部特征向量就是,、取遍中不全为零的全部数对(6分),再用代入得:基础解系,因此,属于5的全部特征向量是, 是中任意不等于零的数。(9分)Р 因为有三个线性无关的特征向量,所以可能对角化。(10分)Р2.解:的矩阵为: Р, , 。得:Р当时,是正定的。Р3.解: (2.5分)Р (2.5分)Р (2.5分)Р在基下的矩阵为(2.5分)Р四.1.证:任意维向量空间,的基,则唯一使(3分)Р即Р在基下的矩阵为(6分)Р与相似(1分)Р2.证:是直和(3分)Р (2分)Р令Р (3分)Р,同理Р是直和。(2分)Р3.证:设是的任一特征值Р ,使Р ,Р Р或Р实对称矩阵Р正交矩阵,使Р4.证:、对应的二次型分别为Р令, Р所以,与合同。
全文预览
