数与外力偶的关系。Р 应力函数确定后,可以确定横截面切应力以及最大切应力关系式。椭圆形横截面的最大切应力在长边的中点。Р 本节最后讨论横截面的翘曲,即扭转变形。对于非圆横截面柱体,在扭矩作用下,横截面将发生翘曲。因此对于非圆横截面柱体的扭转,平面假设不能使用。Р学习要点:Р 1. 椭圆截面直杆应力函数;Р 2. 椭圆截面切应力;Р 3. 椭圆截面翘曲;Р设有椭圆截面直杆,它的横截面为椭圆边界,椭圆的长短半轴分别为a和b,Р如图所示。Р椭圆方程可以写作Р 根据自由扭转问题的基本方程,应力函数在横截面的边界上应该等于零,所以假设应力函数为:Р这一应力函数满足yc=0 。Р 将上述应力函数代入基本方程,则Р即 Р则扭转基本方程满足。Р将应力函数代入端面边界条件公式,则Р设 Р 计算可得。回代可得应力函数表达式Р 将上述应力函数代入应力分量计算公式,可以得到横截面应力分量为Р 横截面上的任意一点的合成切应力为Р根据薄膜比拟,最大切应力发生在椭圆边界上,边界切应力最大值在椭圆短轴处,而最小值在椭圆的长轴处,如图所示。Р有Р下面讨论椭圆截面杆扭转时横截面的翘曲,将应力分量代入翘曲函数公式,则Р Р 将上面两式分别对x和y积分,则Р 比较上述两式,必然有f1(x) = f1(x)=k(常数),所以Р其中, kj 表示横截面沿z方向的刚体平动,对变形没有影响,因此可以略去。所以Р 上式表达了横截面在变形后并不是保持为平面,而是翘曲成为曲面,成为双曲抛物面,Р如图所示。Р曲面的等高线在Oxy面上的投影是双曲线,而且这些双曲线的渐近线是x轴和y轴。Р 只有当a=b时,即圆截面杆,才有w=0,横截面保持为平面。
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