的最小零偏差性质,在上求的三次最佳一致逼近多项式。解:令设为在上的三次最佳一致逼近多项式,由于的首项系数为,故9、设,分别在上求一函数,使其为的最佳平方逼近,并比较其结果。解:由结果知(1)比(2)好。10、用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据拟合,并计算均方误差。192531384419.032.349.073.397.8解:11、用格拉姆-施密特方法构造正交多项式求在[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式。(参考讲义与参考书)解:构造正交多项式于是所以,在[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式为12、求在[-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式。(参考讲义与参考书,利用Legendre正交多项式)解先计算。;;;;又有, ,?,得均方误差13、A、B、C三点连成一条直线,AB长为,BC长为,某人测量的结果为米,米,为控制丈量的准确性,又测量米,试合理地决定和的长度。(小数点后取四位有效数字)解:令为AB的所求值,为BC的所求值,则在最小二乘意义下,要达到极小,即求的极小点。令解的。故应取。14、求函数在区间[-1,1]上的近似3次最佳一致逼近多项式有哪几种方法?选一种方法解本题,并估计误差。(参考讲义与参考书)解:三种方法,见参考讲义。截断切比雪夫级数由富利叶级数系数公式得,它可用数值积分方法计算,得到由及的公式得到拉格朗日插值余项的极小化由的4个零点做插值点可求得,台劳级数项数的节约应用的台劳展开,取,得作为的近似,其误差为,由于则其中用做的逼近多项式,其误差为若再用代入可求出15.编出用正交多项式(格拉姆-施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。(参考讲义与参考书)略。16.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。1)2)解:(1)三个参数,代入17、已知,推导以这三个点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式。
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