化问题的数学模型一般形式为:Р其中为连续函数,通常还要求连续可微,称为决策变量,为目标函数,,为约束函数,为等式约束,为不等式约束。min和s.t.分别是英语单词minimize(极小化)和subject to(受约束)的缩写。Р如果点满足最优化模型中的所有约束条件,就称其为可行点,所有可行点的全体称为可行域,用表示可行域,即Р对于一个可行点,考虑不等式约束,如果有,就称约束在点是有效约束或起作用约束,并称可行点位于约束的边界。如果有,就称不等式约束在点是无效约束或不起作用约束,并称是约束的内点。在任意可行点,所有的等式约束都被认为是有效约束。在一个可行点,所有有效约束的全体被称为该可行点的有效集,并记为Р对于一可行点,如果没有一个不等式约束是有效的,就称是可行域的内点。不是内点的可行点就是可行域的边界点。显然,在边界点至少有一个不等式约束是有效约束。当存在等式约束时,任何可行点都要满足等式约束,因此不可能是等式约束的内点。Р一个可行点称为问题的最优解,如果有Р;Р如果上述不等式对所有不同于的可行点严格成立,即Р,Р则称为严格(全局或总体)最优解。对于可行点,如果存在一个邻域Р使得成立Р,Р则称为优化问题的局部最优解,其中是一个小的正解,范数可以是任意向量范数,但一般常用范数Р如果上述不等式对所有严格成立,则称为严格局部极小点。Р2.3 最优化的基本理论Р定理1:考虑最优化问题,设是其最优解,且函数与二阶连续可微。又设约束规范条件在点成立,从而存在Lagrange乘子向量使Kuhn-Tucker条件成立。设严格互补松弛条件成立,则有Р,Р其中是Lagrange函数在处关于的二阶偏导数矩阵,Р。Р定理2:设是问题的最优解且函数与二阶连续可微。又设约束规范条件在点成立,从而存在Lagrange乘子向量使Kuhn-Tucker条件成立。如果演过互补松弛条件在成立,则Р对于一切满足
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