射函数 f和有多少不同的双射函数 g?(用?X和?Y表示) 解设 X={x 1,…,x m}, Y={y 1,…,y n}。对于每个从 X到 Y 的单射函数 f, f(x 1 ),…,f(x m) 是 Y的一个 m排列,这样可以在从 X到 Y的单射函数与 Y的排列之间建立一一对应。所以,从 X到 Y 的单射函数有 P(n,m) 个,其中 P(n,m) 是从 n 个元素中取出 m 个元素的排列数。当?X=?Y=n时,单射函数即为双射函数。所以,从 X到 Y的双射函数有 P(n,n)=n!个。 17. 设g° f是复合函数,证明下面结论正确否? (1) 如果 g° f是满射函数,则 g是满射函数。(2) 如果 g° f是单射函数,则 f是单射函数。(3) 如果 g° f是双射函数,则 g和f分别是满射函数和单射函数。证明设f:A?B且g:B?C,则 g° f:A?C。(1) 任取 z?C,因为 g° f是满射函数,所以存在 x?A使得 g° f(x)=z,即g(f(x )) =z, z? ran( g)。(2) 若 f(x)=f(y),则 g(f(x ))=g(f(y )),即 g° f(x)=g° f(y), 由g° f是单射函数得出 x=y。因此, f是单射函数。(3) 如果 g° f是双射函数,则 g° f是满射函数,故 g是满射函数。又g° f是单射函数,故 f是单射函数。 23. 利用特征函数的性质(公式)证明下列等式。(2) A?(A?B)=A 证明? A?(A?B)(x)=? A(x)?? A?B(x) =? A(x)?(? A(x)+? B(x)?? A(x)?? B(x )) =? A(x)?? A(x)+? A(x)?? B(x)?? A(x)?? A(x)?? B(x) =? A(x)+? A(x)?? B(x)?? A(x)?? B(x) =? A(x)
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