正奇数 x, [x] R ={y ?y是正整数,存在自然数 m,使得 y=2 mx} 26.设 R是正整数的有序偶集合上的关系,并且?x, y?R?u, v?当且仅当 xv=yu , 证明 R是等价关系。证明:对于任意正整数 x,因为 xx=xx ,根据 R的定义,有?x, x?R?x, x?,故 R 有自反性。对于任意正整数 x, y, u, v,设?x, y?R?u, v?,根据 R的定义,有 xv=yu , 即有 uy=vx , ?u, v?R?x, y?,因此 R有对称性。对于任意正整数 x, y, u, v, s, t ,设?x, y?R?u, v?, ?u, v?R?s, t?根据 R 的定义,有 xv=yu , ut=vs 。因此 v=ut/s , xv=xut/s=yu , xt=ys ,根据 R 的定义, 有?x, y?R?s, t?,故 R有传递性。综上所述,关系 R是等价关系。 27.设 A={a , b, c, d},而且? 1, ? 2, ? 3是 A的划分,如果? 1 ={{a , b, c}, {d}} , ? 2 ={{a} , {b} , {c} , {d}} , ? 3 ={{a , b, c, d}} ,请分别列出由划分? 1, ? 2, ? 3 确定的等价关系。解:由划分? 1, ? 2, ? 3确定的等价关系分别是: R 1 ={〈 a, b〉,〈 b, a〉,〈 a, c〉,〈 c, a〉,〈 b, c〉,〈 c, b〉} ?I A R 2 ={〈 a, a〉,〈 b, b〉,〈 c, c〉,〈 d, d〉}=I A R 3 ={〈 a, b〉,〈 b, a〉,〈 a, c〉,〈 c, a〉,〈 a, d〉,〈 d, a〉,〈 b, c〉,〈 c, b〉, 〈 b, d〉,〈 d, b〉,〈 c, d〉,〈 d, c〉} ?I A
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