(2ttdttddxdy????6.求函数323xxy??的单调区间解:函数323xxy??的定义域是??????,)2(3362??????xxxxy,令0??y,求得驻点为2,0??xx,0),0,(?????yx函数单调递减,0),2,0(???yx函数单调递增,0),,2(?????yx函数单调递减7.求由曲线22xy?,2xy?与2?y所围成的平面图形面积。解:求得交点)2,1(),2,1(?38328)2(220?????dyyyS8.一曲线通过点)3,2(,它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点所平分,求这条曲线。解:设),(00yx为曲线上的一点,函数过该点处的切线方程为))((000xxxfyy????该切线与x轴的交点为)(000xfyx??,由题意0000))((21xxfyx???,简化得000)(xyxf???10?),(00yx的选取是任意的,?所求曲线满足xyxf???)(,解得xCy1?。又3)2(?y,xy6??。9.求由抛物线2xy?及其在点)41,21(处的法线所围成的平面图形的面积。解:因为xy2??,所以1)21(??y,抛物线2xy?在点)41,21(处的法线方程为)21)(1(41????xy,即43???xy求得抛物线与其法线的交点为)41,21(),49,23(?,图形面积???????2123234)43(dxxxS10.求一曲线,这曲线过点(0,1),且它在点( , )x y处的切线斜率等于yx?。解:由题意yxy???,1)0(?y。方程yxy???对应的齐次方程为ydxdy??,分离变量得dxydy??,解得xCey??。设原方程的解为xexhy??)(,代入原方程得xyexhdxdx???))((,解得xxxxCexeCexey????????1)(。又1)0(?y得2?C,从而原方程的解为xexy????21。
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