第零章习题部分答案

1)!三一l(mod p)Р从而p可整除(/?-!)!+!РР定义在整数Z上的函数f(〃)如果满足Р则f(〃)叫做乘性函数.证明：若f(〃)是一个乘性函数，则g(")=»(d)也是一 d\nР个乘性函数。Р证明：设/(n)^ 0Р令 〃 =?有 / (〃) = /…Р故Рd\n?幺=0 er=0Р-I /?\ 一2 /?\?S /?\Р=- £f(p?)…五而)Р。1=0?(Р=M )•••&:，)Р4=0Р。2=0Рer=0Р.(证毕)РР19.(默比乌斯反演定理)设f(77)是定义在正整数集Z+上的复值函数，令РF(〃) = £f(d)，证明：f(n) = Z"(d)F(» d/n?d/n?"Р证明：由 F(n)=Zf(d) = »(%)Рd/n?d/n "Р对〃的每个因数涉，兰是自然数，于是有r(-)=yfW), d?d djnР所以，£.(d)Fq)= £"(d) £f0)Рd/n?a?4 己Рd" d'/nР=E?&(d)f(d')Рd'l"?dl 二Р= £E) 2岬)?(1)Р"* _РРi(若号=1)Р由 14 题知，Z"(d) = <Рd?(2)Р(X 若？〉i)РaР把(2)代入(1),得：Р£岬保)==£)0)£岬)=f(〃).Рd/n?弓 "n?gР20.应用默比乌斯反演公式和欧拉函数Q(〃)的一个性质£(p(d) = n ,来直接证明 d\nР习题15的公式。然后重复导出定理7的公式。Р证明：设 N = {1,2,...,〃}，将N 中的数分类，Md = e A^|(m,M)= d^ ,则РN = \^Md 因为 m = mxd.n = nxd.(m,ri) = 1,Рd\nР所以 \Md\ =加)=娉),〃=网=£ M J = £ ©(£)=£ 她)Рd?d\n?d\n dР令f(〃) = ",g(乃)=。(〃)，根据默比乌斯反演公式，定理得证。